เกาส์: ตัวอย่างของการแก้ปัญหาและกรณีพิเศษ

วิธีเกาส์ยังเรียกว่าวิธีการของการกำจัดแบบขั้นตอนของตัวแปรที่ไม่รู้จักชื่อหลังจากที่นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันที่โดดเด่น KF เกาส์ในขณะที่ยังมีชีวิตอยู่ได้รับชื่ออย่างไม่เป็นทางการ "กษัตริย์ของคณิตศาสตร์." แต่วิธีนี้ได้รับการรู้จักกันมานานก่อนการเกิดของอารยธรรมยุโรปแม้จะอยู่ในศตวรรษที่ฉัน ก่อนคริสต์ศักราช อี นักวิชาการจีนโบราณได้ใช้มันในงานเขียนของเขา

เกาส์เป็นวิธีที่คลาสสิกของการแก้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (Slough) มันเหมาะสำหรับการแก้ปัญหาที่รวดเร็วในการฝึกอบรมขนาด จำกัด

วิธีการที่ตัวเองประกอบด้วยสองย้าย: ไปข้างหน้าและย้อนกลับ หลักสูตรโดยตรงเรียกว่าลำดับที่แสดง SLAE รูปแบบสามเหลี่ยมเช่นค่าเป็นศูนย์ภายใต้เส้นทแยงมุมหลัก เพิกถอนเกี่ยวข้องกับการค้นพบที่สอดคล้องกันของตัวแปรแสดงตัวแปรแต่ละตัวผ่านก่อนหน้านี้

เรียนรู้ที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกาส์เป็นเพียงพอที่จะรู้กฎพื้นฐานของการคูณการลบและบวกของตัวเลข

เพื่อที่จะแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนวิธีการแก้ระบบเชิงเส้นโดยวิธีนี้เราจะอธิบายตัวอย่างหนึ่ง

ดังนั้นจะแก้ไขได้โดยใช้ Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6Y + 11z = 6
4x-2y-2Z = -6

เราจำเป็นต้องมีเส้นที่สองและสามจะได้รับการกำจัดของตัวแปร x นี้เราเพิ่มให้กับเขาเป็นครั้งแรกโดยคูณ -2 และ -4 ตามลำดับ เราจะได้รับ:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-10y-18z = -18

ตอนนี้สาย 2 คูณด้วย 5 และเพิ่มเข้าไปในที่สาม:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-3z = -18

เราได้นำระบบของเราให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม ตอนนี้เราดำเนินการย้อนกลับ เราเริ่มต้นด้วยบรรทัดสุดท้าย:
-3z = -18
Z = 6

บรรทัดที่สอง:
2y + 3Z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18
การ y = -9

บรรทัดแรก:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

แทนค่าของตัวแปรในข้อมูลเดิมที่เราตรวจสอบความถูกต้องของการตัดสินใจ

ตัวอย่างนี้จะสามารถแก้ไขได้จำนวนมากของการแทนอื่น ๆ แต่คำตอบที่ควรจะเป็นแบบเดียวกัน

มันจึงเกิดขึ้นว่าองค์ประกอบชั้นนำของแถวแรกจะจัดที่มีค่าขนาดเล็กเกินไป มันไม่ได้น่ากลัว แต่มีความซับซ้อนการคำนวณ การแก้ปัญหาคือเกาส์กับแกนในคอลัมน์ สาระสำคัญของมันเป็นดังนี้: บรรทัดแรกของการสูงสุดขอองค์ประกอบโมดูโลคอลัมน์ในการที่จะตั้งอยู่, สถานที่การเปลี่ยนแปลงด้วย 1 คอลัมน์ที่เป็นองค์ประกอบสูงสุดของเราจะกลายเป็นองค์ประกอบแรกของเส้นทแยงมุมหลัก ถัดไปเป็นกระบวนการคำนวณมาตรฐาน ถ้าจำเป็นขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงคอลัมน์ในบางสถานที่ที่สามารถทำซ้ำได้

รุ่นของวิธีการก็คือวิธีการของเกาส์ Gauss-จอร์แดน

มันถูกใช้สำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นตารางเมื่อเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์และอันดับ (จำนวนเส้นภัณฑ์)

สาระสำคัญของวิธีนี้คือว่าระบบเดิมจะเปลี่ยนจากการเปลี่ยนแปลงในเมทริกซ์เอกลักษณ์กับอีกตัวแปรที่ค้นพบ

ขั้นตอนวิธีการก็คือว่ามัน:

1. ระบบสมการคือในขณะที่วิธีการของเกาส์เป็นรูปแบบสามเหลี่ยม

2. สายแต่ละครั้งจะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงในลักษณะที่ว่าหน่วยงานที่มีการเปิดในแนวทแยงหลัก

3. บรรทัดสุดท้ายคูณด้วยจำนวนหนึ่งและหักออกจากสุดท้ายเพื่อที่จะไม่ให้ได้รับบนเส้นทแยงมุมหลัก 0

4. ขั้นตอนที่ 3 จะถูกทำซ้ำตามลำดับสำหรับทุกแถวจนในที่สุดได้รูปแบบเมทริกซ์หน่วย