ตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล: อะไรและสิ่งที่พวกเขาใช้สำหรับ?

ตัวเลขไม่ลงตัวคืออะไร? ทำไมพวกเขาถึงเรียก พวกเขาใช้อะไรอยู่และพวกเขาเป็นอย่างไร? ไม่กี่คนสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ลังเลใจ แต่ในความเป็นจริงคำตอบของพวกเขาค่อนข้างง่ายแม้ว่าจะไม่ใช่สิ่งที่จำเป็นในสถานการณ์ที่หายากมากก็ตาม

สาระสำคัญและการกำหนด

ตัวเลขที่ไม่มีเหตุผลเป็น ทศนิยมที่ ไม่ใช่ระยะอนันต์ ความต้องการที่จะนำแนวคิดนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการแก้ปัญหาใหม่ที่เกิดขึ้นแนวคิดของจริงหรือจำนวนจริงจำนวนเต็มธรรมชาติและมีเหตุผลไม่เพียงพอก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นในการคำนวณโดยตารางของสิ่งที่ค่าเป็น 2 มีความจำเป็นต้องใช้ทศนิยมที่ไม่ใช่ระยะอนันต์ นอกจากนี้หลายสมการที่ง่ายที่สุดยังไม่มีทางออกโดยไม่ต้องแนะนำแนวคิดของจำนวนไม่ลงตัว

ชุดนี้แสดงเป็น I. และตามที่ได้ระบุไว้แล้วค่าเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษเล็กเศษน้อยในตัวเศษซึ่งมีจำนวนเต็มและในตัวหาร - เป็น จำนวนตามธรรมชาติ

เป็นครั้งแรกที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพบปรากฏการณ์นี้หรืออีกทางหนึ่งในศตวรรษที่ 7 เมื่อค้นพบว่ารากที่สองของปริมาณบางส่วนไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน และหลักฐานแรกของการดำรงอยู่ของตัวเลขดังกล่าวมาจาก Gippas Pythagorean ผู้ที่ทำเช่นนี้ในกระบวนการของการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากที่หน้าจั่ว การมีส่วนร่วมอย่างจริงจังในการศึกษาชุดนี้ถูกนำโดยนักวิชาการบางคนที่อาศัยอยู่ก่อนยุคของเรา การแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับตัวเลขไม่ลงตัวนำไปสู่การแก้ไขระบบคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ซึ่งเป็นเหตุผลที่มีความสำคัญมาก

ต้นกำเนิดของชื่อ

หากอัตราส่วนในการแปลจากภาษาละตินคือ "เศษ", "อัตราส่วน" คำนำหน้า "ir"
ให้คำนี้มีความหมายตรงกันข้าม ดังนั้นชื่อของชุดของตัวเลขเหล่านี้บ่งชี้ว่าพวกเขาไม่สามารถมีความสัมพันธ์กับจำนวนเต็มหรือเศษส่วนมีสถานที่ที่แยกต่างหาก นี่เป็นผลมาจากสาระสำคัญของพวกเขา

วางในการจัดหมวดหมู่ทั่วไป

ตัวเลขที่ไม่มีเหตุผลพร้อมด้วยจำนวนที่มีเหตุผลหมายถึงกลุ่มของจำนวนจริงหรือตัวเลขจริงซึ่งหมายถึงจำนวนที่ซับซ้อน ไม่มีส่วนย่อย แต่แยกความแตกต่างระหว่างพีชคณิตกับความหลากหลายที่เยี่ยมยอดซึ่งเราจะพูดถึงด้านล่าง

สรรพคุณ

เนื่องจากจำนวนที่ไม่มีเหตุผลเป็นส่วนหนึ่งของชุดของจำนวนจริงคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาสามารถใช้ได้กับพวกเขาซึ่งได้รับการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ (พวกเขาจะเรียกว่ากฎพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิต)

A + b = b + a (commutativity);

(A + b) + c = a + (b + c) (associativity);

A + 0 = a;

A + (-a) = 0 (การดำรงอยู่ของจำนวนที่ตรงกันข้าม);

ab = ba (กฎหมายการเคลื่อนย้าย);

(Ab) c = a (bc) (การกระจาย);

A (b + c) = ab + ac (กฎหมายการกระจาย);

Ax 1 = a

ขวาน 1 / a = 1 (การดำรงอยู่ของจำนวนผกผัน);

การเปรียบเทียบยังดำเนินการตามกฎหมายและหลักการทั่วไป:

ถ้า a> b และ b> c แล้ว a> c (transitivity ของความสัมพันธ์) และ. t. d

แน่นอนว่าตัวเลขที่ไม่ลงตัวทั้งหมดสามารถแปลงได้ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน ไม่มีกรณีพิเศษในกรณีนี้

นอกจากนี้ผลของสัจพจน์ของอาร์คิมิดีสยังขยายไปยังจำนวนที่ไม่มีเหตุผล มันระบุว่าสำหรับทั้งสองปริมาณ a และ b, การยืนยันต่อไปนี้ถือ: การเป็นจำนวนมากพอสรุปได้หนึ่งสามารถเกิน b.

การใช้งานของ

แม้จะมีความจริงที่ว่าในชีวิตปกติที่คุณไม่ได้มักจะต้องจัดการกับพวกเขาตัวเลขไม่ลงตัวไม่ให้ยืมตัวเองไปบัญชี พวกเขามีขนาดใหญ่ แต่เกือบจะมองไม่เห็น เราล้อมรอบไปด้วยตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างที่คุ้นเคยกับทุกคนคือจำนวน pi เท่ากับ 3,1415926 ... หรือ e ซึ่งเป็นพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 2,718281828 ... ในพีชคณิตตรีโกณมิติและรูปเรขาคณิตต้องใช้อย่างต่อเนื่อง โดยวิธีการที่ความหมายที่มีชื่อเสียงของ "ส่วนทอง" นั่นคืออัตราส่วนของส่วนใหญ่ที่มีขนาดเล็กและในทางกลับกันยัง หมายถึงชุดนี้ "เงิน" ที่รู้จักกันดี - น้อยเกินไป

ในบรรทัดจำนวนที่พวกเขามีความหนาแน่นมากเพื่อให้ระหว่างสองปริมาณที่อ้างถึงชุดของคนมีเหตุผลที่เกิดขึ้นไม่ลงรอยกัน

จนถึงขณะนี้ยังมีปัญหาที่ยังไม่แก้ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับชุดนี้ มีเกณฑ์ดังกล่าวเป็นตัวชี้วัดความไม่สมเหตุสมผลและความปกติของตัวเลข นักคณิตศาสตร์ยังคงสำรวจตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในกลุ่มของพวกเขา ตัวอย่างเช่นถือว่า e เป็นจำนวนปกตินั่นคือความเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขต่างกันในเร็กคอร์ดจะเหมือนกัน สำหรับงานวิจัย pi งานวิจัยยังอยู่ในระหว่างดำเนินการเกี่ยวกับเขา การวัดความไม่สมเหตุสมผลเป็นจำนวนที่บ่งบอกว่าจำนวนที่ใกล้เคียงกันได้ดีเพียงใด

เกี่ยวกับพีชคณิตและยอดเยี่ยม

ดังที่กล่าวมาแล้วตัวเลขที่ไม่ลงตัวแบ่งตามเงื่อนไขเป็นพีชคณิตและยอดเยี่ยม มีเงื่อนไขเนื่องจากการกล่าวอย่างเคร่งครัดการจำแนกประเภทนี้ใช้เพื่อแบ่งชุด C.

ภายใต้การกำหนดนี้เป็นตัวเลขที่ซับซ้อนซึ่งรวมถึงจำนวนจริงหรือตัวเลขจริง

ดังนั้นระยะเกี่ยวกับพีชคณิตคือค่าที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่เท่ากันกับศูนย์ ตัวอย่างเช่นรากที่สองของ 2 จะอยู่ในหมวดหมู่นี้เนื่องจากเป็นสมการของสมการ x ² - 2 = 0

ตัวเลขจริงทั้งหมดที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่ายอดเยี่ยม ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดและกล่าวถึงแล้วหมายถึงความหลากหลายนี้ - จำนวน pi และฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e.

ที่น่าสนใจทั้งสองอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ได้มาจากนักคณิตศาสตร์ในความสามารถนี้ความไม่ลงตัวและความถูกต้องของพวกเขาได้รับการพิสูจน์มาหลายปีหลังจากการค้นพบของพวกเขา สำหรับหลักฐาน pi ได้รับใน 1882 และง่ายใน 1,894 ซึ่งทำให้หมดสิ้นไปอภิปรายเกี่ยวกับปัญหาของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลมซึ่งใช้เวลา 2.5 พันปี. ยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่เพื่อให้นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีบางอย่างที่จะทำงาน โดยวิธีการคำนวณที่ถูกต้องครั้งแรกของค่านี้ได้ทำโดย Archimedes ก่อนหน้านี้การคำนวณทั้งหมดก็ใกล้เคียงมากเกินไป

สำหรับ e (หมายเลขออยเลอร์หรือเนเปียร์) หลักฐานการมีชัยของเขาถูกพบใน พ.ศ. 2416 ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม

ตัวอย่างอื่น ๆ ได้แก่ ค่าของไซน์โคไซน์และสัมผัสกันสำหรับค่าพีชคณิตที่ไม่ใช่ค่าศูนย์