รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: องค์ประกอบสมมาตรและพื้นที่

เรขาคณิตที่มีความสวยงามเพราะไม่เหมือนพีชคณิตซึ่งไม่เป็นที่ชัดเจนว่าทำไมและสิ่งที่คุณคิดว่าจะช่วยให้วัตถุที่มองเห็น โลกนี้ที่ยอดเยี่ยมขององค์กรต่างๆประดับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ตามที่หลายทรงหลายหน้าปรกติหรือเป็นพวกเขาจะเรียกฉันมิตรแข็ง, มีคุณสมบัติที่ไม่ซ้ำกัน ด้วยวัตถุเหล่านี้เชื่อมต่อสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์หลาย เมื่อคุณเริ่มต้นเพื่อศึกษาข้อมูลทางเรขาคณิตของร่างกายคุณตระหนักว่าเกือบจะไม่ได้รู้อะไรเกี่ยวกับแนวคิดดังกล่าวเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การนำเสนอของวัตถุเหล่านี้อยู่ในโรงเรียนไม่ได้เป็นที่น่าสนใจเสมอดังนั้นหลายจำไม่ได้ว่าสิ่งที่พวกเขาเรียกว่า ในความทรงจำของผู้คนส่วนใหญ่ก็เป็นเพียงก้อน ไม่มีรูปทรงเรขาคณิตที่ร่างกายไม่ได้มีความสมบูรณ์แบบเช่นทรงหลายหน้าปรกติ ชื่อของร่างกายเรขาคณิตเหล่านี้มาจากสมัยกรีกโบราณ พวกเขาเป็นตัวแทนจำนวนของใบหน้า: จัตุรมุข - สี่ด้าน hexahedron - อัลเลนแปด - แปดเหลี่ยม, เฟ - สิบสอง, ฮอว์คิง - icosahedral ทั้งหมดของร่างกายเรขาคณิตเหล่านี้ตรงบริเวณสถานที่สำคัญในความคิดของเพลโตของจักรวาล สี่ของพวกเขาจะเป็นตัวเป็นตนองค์ประกอบหรือหน่วยงาน: จัตุรมุข - ไฟฮอว์คิง - การลูกบาศก์น้ำ - ดินแปดด้าน - อากาศ เฟเป็นตัวเป็นตนทุกสิ่ง เขาได้รับการพิจารณาหลักเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาล

ทั่วไปของแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่

รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นคอลเลกชัน จำกัด ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวว่า:

• แต่ละด้านของใด ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมคือในเวลาเดียวกันเพียงด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมอื่นอยู่ข้างเดียว;
• จากแต่ละรูปหลายเหลี่ยมคุณสามารถเดินไปที่อื่น ๆ ที่อยู่ติดกันโดยผ่านการขออนุญาตรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมแทนใบหน้าและด้านข้างของพวกเขา - ซี่โครง จุดรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นจุดของรูปหลายเหลี่ยม ถ้ารูปหลายเหลี่ยมระยะเข้าใจเส้นปิดแบนแล้วมาหนึ่งความหมายของรูปทรงหลาย ในกรณีที่โดยคำนี้มีความหมายที่เป็นส่วนหนึ่งของเครื่องบินที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นที่ขาดก็จะเข้าใจได้พื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าร่างกายนอนอยู่บนด้านหนึ่งของเครื่องบินที่อยู่ติดกับใบหน้า

ความหมายของรูปทรงหลายเหลี่ยมและองค์ประกอบของมันอีก

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่ จำกัด ร่างกายเรขาคณิต พวกเขาคือ

• ไม่ใช่นูน;
• นูน (ขวาและผิด)

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ - เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสมมาตรสูงสุด องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

• จัตุรมุข: 6 ซี่โครง 4 ใบหน้า 5 จุด;
• hexahedron (ก้อน) 12, 6, 8;
• เฟ 30, 12, 20;
• แปดด้าน 12, 8, 6;
• ฮอว์คิง 30, 20, 12

ทฤษฎีบทออยเลอร์

มันสร้างความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนขอบจุดและใบหน้าเป็นทอพอโลยีเทียบเท่ากับทรงกลม การเพิ่มจำนวนของจุดและใบหน้า (B + D) มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแตกต่างกันและเปรียบเทียบกับจำนวนซี่โครงก็เป็นไปได้ที่จะตั้งกฎหนึ่ง: ผลรวมของจำนวนหน้าเท่ากับจำนวนของจุดและขอบ (P) เพิ่มขึ้น 2. ที่มันเป็นไปได้ที่จะได้รับสูตรง่ายๆ:

• B + D = P + 2

สูตรนี้สามารถใช้ได้สำหรับทุกรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

คำนิยามพื้นฐาน

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายในหนึ่งประโยค มันเป็นมูลค่าและปริมาณ ร่างกายได้รับการยอมรับเช่นนี้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่มันตรงกับจำนวนของคำนิยาม ดังนั้นร่างกายเรขาคณิตจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเมื่อเงื่อนไขเหล่านี้จะพบ:

• มันเป็นนูน;
• หมายเลขเดียวกันของซี่โครงลู่ในแต่ละจุดของตน
• ทุกแง่มุมของเขา - รูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากับแต่ละอื่น ๆ ;
• ทุกมุมไดฮีดรัมีค่าเท่ากัน

คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มี 5 ชนิดที่แตกต่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

1. Cube (hexahedron) - มันมีมุมปลายแบน 90 ° มันมีมุม 3 ด้าน จำนวนเงินที่ใบหน้ามุมที่ปลาย 270 องศา
2. จัตุรมุข - มุมปลายแบน - 60 องศา มันมีมุม 3 ด้าน มุมจำนวนใบหน้าที่ปลาย - 180 องศา
3. แปดด้าน - มุมปลายแบน - 60 องศา มันมีมุมสี่ด้าน มุมจำนวนใบหน้าที่ปลาย - 240 องศา
4. เฟ - มุมปลายแบน 108 ° มันมีมุม 3 ด้าน มุมจำนวนใบหน้าที่ปลาย - 324 °
5. ฮอว์คิง - มันมีมุมปลายแบน - 60 องศา มันมีมุมห้าเหลี่ยม จำนวนเงินที่ใบหน้ามุมที่ปลาย 300 องศา

พื้นที่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวของร่างกายเรขาคณิต (S) จะถูกคำนวณเป็นพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมปกติคูณด้วยจำนวนแง่มุม (G):

• S = (ก: 2) x 2G CTG π / p

ปริมาณของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ค่านี้จะถูกคำนวณโดยคูณปริมาณของพีระมิดปกติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมปกติจำนวนของใบหน้าและความสูงของมันคือรัศมีจารึกของทรงกลม (R):

• V = 1: 3Rs

ปริมาณของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

อื่น ๆ เช่นรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นของแข็งรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใด ๆ มีปริมาณที่แตกต่างกัน ด้านล่างนี้เป็นสูตรโดยที่พวกเขาสามารถคำนวณ:

• จัตุรมุข: α x 3√2: 12;
• แปดด้าน: α x 3√2: 3;
• ฮอว์คิง; α x 3;
• hexahedron (ก้อน): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• เฟ: α x 3 (15 + 7√5): 4

องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

hexahedron และแปดเป็นร่างทรงเรขาคณิตคู่ ในคำอื่น ๆ ที่พวกเขาอาจได้รับจากแต่ละอื่น ๆ ในกรณีที่เซนทรอยด์ของคนที่จะมาเป็นด้านบนของอื่น ๆ และในทางกลับกัน ยังมีฮอว์คิงคู่และเฟ ตัวเองจัตุรมุขเพียง แต่เป็นคู่ ตามวิธีการของ Euclid สามารถได้รับจาก hexahedron เฟโดยการสร้าง "หลังคา" บนใบหน้าของลูกบาศก์ จุดยอดของจัตุรมุขใด ๆ 4 จุดของก้อนที่ไม่ได้คู่ที่อยู่ติดกันไปตามขอบ จาก hexahedron (ก้อน) สามารถรับและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่น ๆ แม้จะมีความจริงที่ว่า รูปหลายเหลี่ยมปกติ มีนับไม่ถ้วนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีเพียง 5

รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

กับแต่ละหน่วยงานเหล่านี้มีรูปทรงเรขาคณิตทรงกลมศูนย์กลางการเชื่อมต่อที่ 3:

• อธิบายผ่านจุด;
• จารึกเกี่ยวกับแต่ละใบหน้าของมันอยู่ตรงกลางของมัน;
• เฉลี่ยเกี่ยวกับขอบทั้งหมดที่อยู่ตรงกลาง

รัศมีของทรงกลมอธิบายโดยสูตรต่อไปนี้จะถูกคำนวณ:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2

รัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้มีการคำนวณดังนี้:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

ที่θ - มุมไดฮีดรัซึ่งอยู่ระหว่างแง่มุมที่อยู่ติดกัน

รัศมีเฉลี่ยของทรงกลมสามารถคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

• ρ = a cos π / p: 2 บาปπ / h

ที่ H = ความสำคัญของ 4.6, 6.10, หรือ 10 อัตราส่วนของรัศมีของไว้อธิบายและสมมาตรด้วยความเคารพ p และ q จะมีการคำนวณดังนี้

• R / r = tg π / p x tg π / q

สมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม

สมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นที่น่าสนใจหลักในการร่างเรขาคณิตเหล่านี้ มันเป็นที่เข้าใจกันการเคลื่อนไหวของร่างกายในพื้นที่ซึ่งใบหมายเลขเดียวกันของจุดที่ใบหน้าและขอบ ในคำอื่น ๆ ภายใต้อิทธิพลของขอบสมมาตรแปลงที่จุดสุดยอดหรือใบหน้ายังคงรักษาตำแหน่งเดิมหรือย้ายไปยังตำแหน่งที่บ้านของซี่โครงอีกจุดอื่น ๆ หรือใบหน้า

องค์ประกอบของความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั่วไปที่มีทุกประเภทของของแข็งเรขาคณิต นี่มันคือการดำเนินการเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงตัวตนซึ่งใบใด ๆ ของจุดในตำแหน่งเดิม ดังนั้นเมื่อคุณเปิดปริซึมเหลี่ยมจะได้รับ symmetries บาง ๆ ของพวกเขาสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของการสะท้อน สมมาตรซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนคู่ของการสะท้อนความเห็นที่เรียกว่าโดยตรง ถ้ามันเป็นผลิตภัณฑ์ของเลขคี่สะท้อนจากนั้นก็จะเรียกว่าข้อเสนอแนะ ดังนั้นผลัดกันทั้งหมดที่อยู่รอบ ๆ เส้นแทนสมมาตรตรง ใด ๆ ที่สะท้อนให้เห็นถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม - เป็นสมมาตรผกผัน

เพื่อทำความเข้าใจองค์ประกอบสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคุณสามารถใช้ตัวอย่างของจัตุรมุขที่ สายการใด ๆ ที่จะผ่านไปหนึ่งของจุดและศูนย์ของ รูปทรงเรขาคณิต ที่จะเกิดขึ้นและผ่านใจกลางตรงข้ามขอบเพื่อมัน แต่ละผลัด 120 และ 240 องศารอบเส้นเป็นของ tetrahedral สมมาตรพหูพจน์ เพราะมัน 4 จุดและใบหน้าที่เราได้รับทั้งหมดแปด symmetries โดยตรง ใด ๆ ของเส้นผ่านกลางของขอบและศูนย์กลางของร่างกายมันผ่านตรงกลางของขอบตรงข้าม การหมุนของ 180 °ใด ๆ ที่เรียกว่าครึ่งหันสมมาตรตรง ตั้งแต่จัตุรมุขมีสามคู่ซี่โครงคุณจะได้รับสามบรรทัดของสมมาตร ตามข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนรวมของสมมาตรโดยตรงและรวมถึงการเปลี่ยนแปลงตัวตนที่จะถึงสิบสอง อื่น ๆ จัตุรมุขสมมาตรโดยตรงไม่ได้มีอยู่ แต่ก็มี 12 ผกผันสมมาตร ดังนั้นเพียง 24 ลักษณะสมมาตรจัตุรมุข เพื่อความชัดเจนเราสามารถสร้างรูปแบบของจัตุรมุขปกติทำจากกระดาษแข็งและให้แน่ใจว่ามันเป็นร่างกายทางเรขาคณิตจริงๆมีเพียง 24 สมมาตร

Dodecahedron และฮอว์คิง - ที่อยู่ใกล้บริเวณร่างกาย ฮอว์คิงมีจำนวนมากที่สุดของใบหน้ามุมไดฮีดรัและที่สุดของทุกอย่างแน่นหนาสามารถยึดติดกับรูปทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ เฟมีข้อบกพร่องมุมตันต่ำสุดเชิงมุมใหญ่ที่สุดที่จุดสุดยอด มันสามารถเพิ่มการกรอกข้อมูลในวงที่ จำกัด

สแกนรูปทรงหลายเหลี่ยม

สแกนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งเราทุกคนติดอยู่ด้วยกันในวัยเด็กมีจำนวนมากของแนวคิด หากมีชุดของรูปหลายเหลี่ยมด้านข้างของแต่ละถูกระบุมีเพียงด้านใดด้านหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมบัตรประจำตัวของบุคคลที่จะต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สอง:

• ของแต่ละรูปหลายเหลี่ยมคุณสามารถไปที่รูปหลายเหลี่ยมที่มีบัตรประจำตัวของด้านข้าง;
• ด้านที่สามารถระบุตัวควรมีความยาวเดียวกัน

มันเป็นชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ตรงกับเงื่อนไขเหล่านี้และจะเรียกว่าการสแกนรูปทรงหลายเหลี่ยม แต่ละหน่วยงานเหล่านี้มีหลายของพวกเขา ยกตัวอย่างเช่นก้อนซึ่งมี 11 ชิ้น