ทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหตุการณ์ครั้งคราว (ทฤษฎีความน่าจะ) การพัฒนาอิสระและเข้ากันไม่ได้ในทฤษฎีของความน่าจะเป็น

มันไม่น่าที่หลาย ๆ คนคิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะนับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งมีขอบเขตบางอย่างไม่ได้ตั้งใจ ที่จะนำมันในคำง่ายๆคือมันมีเหตุผลที่จะรู้ว่าที่ด้านข้างของก้อนในลูกเต๋าจะตกในครั้งต่อไป มันเป็นคำถามนี้ไปถามนักวิทยาศาสตร์สองดีวางรากฐานสำหรับวิทยาศาสตร์นี้ทฤษฎี ความน่าจะเป็นน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งในการศึกษาอย่างกว้างขวางพอ

รุ่น

ถ้าคุณพยายามที่จะกำหนดแนวความคิดดังกล่าวเป็นทฤษฎีของความน่าจะเป็นที่เราได้รับต่อไปนี้: นี้เป็นหนึ่งในสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความมั่นคงของเหตุการณ์สุ่ม เห็นได้ชัดว่าแนวคิดนี้จริงๆไม่เปิดเผยสาระสำคัญดังนั้นคุณจึงจำเป็นที่จะต้องพิจารณาในรายละเอียดมากขึ้น

ผมอยากจะเริ่มต้นด้วยการก่อตั้งของทฤษฎี ตามที่ได้กล่าวมาข้างต้นมีอยู่สองที่ ต่อ Ferma และ เบลซปาสคาล พวกเขาเป็นคนแรกที่พยายามใช้สูตรและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณผลของเหตุการณ์ โดยทั่วไปพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้คือแม้ในยุคกลาง ในขณะที่นักคิดต่างๆและนักวิทยาศาสตร์ได้พยายามที่จะวิเคราะห์เกมคาสิโนเช่นรูเล็ตลูกเต๋าชนิดหนึ่งและอื่น ๆ ซึ่งจะช่วยในการสร้างรูปแบบและการสูญเสียร้อยละของจำนวน มูลนิธิยังได้รับการวางในศตวรรษที่สิบเจ็ดมันเป็นนักวิชาการดังกล่าวข้างต้น

ในขั้นต้นทำงานของพวกเขาไม่สามารถนำมาประกอบกับความสำเร็จที่ดีในด้านนี้หลังจากที่ทุกสิ่งที่พวกเขาพวกเขาเป็นเพียงข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์และการทดลองได้อย่างชัดเจนโดยไม่ต้องใช้สูตร เมื่อเวลาผ่านไปก็เปิดเพื่อให้บรรลุผลที่ดีซึ่งปรากฏเป็นผลมาจากการสังเกตของการโยนของกระดูก มันเป็นเครื่องมือนี้ได้ช่วยที่จะนำสูตรที่แตกต่างกันเป็นครั้งแรก

ผู้สนับสนุน

ไม่ต้องพูดถึงเช่นคนเป็นคริสเตียนฮยเกนส์ในขั้นตอนของการศึกษาเรื่องที่รู้จักกันในนามของ "ทฤษฎีความน่าจะ" ที่ (ที่น่าจะเป็นของเหตุการณ์ไฮไลท์ในวิทยาศาสตร์นี้) คนนี้เป็นที่น่าสนใจมาก เขาเช่นเดียวกับนักวิทยาศาสตร์ที่นำเสนอข้างต้นจะถูกทดสอบในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์เพื่อสรุปรูปแบบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแบบสุ่ม เป็นที่น่าสังเกตว่าเขาไม่ได้ร่วมกับปาสคาลและแฟร์มาต์นั่นคือทั้งหมดที่ทำงานของเขาไม่ทับซ้อนกับจิตใจของผู้ที่ Huygens ได้รับ แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะ

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือการที่ผลงานของเขามานานก่อนที่ผลการทำงานของผู้บุกเบิกในการเป็นที่แน่นอนเมื่อยี่สิบปีก่อน มีเพียง แต่ในหมู่แนวคิดที่ระบุก็คือ:

• เป็นแนวคิดของโอกาสความน่าจะเป็นค่า;
• ความคาดหวังสำหรับกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง;
• ทฤษฎีบทของบวกและการคูณของความน่าจะเป็น

นอกจากนี้หนึ่งไม่สามารถลืม Yakoba Bernulli ที่ยังสนับสนุนการศึกษาของปัญหา ผ่านของตัวเองทั้งจากผู้ทดสอบอิสระเขาก็สามารถที่จะแสดงหลักฐานของกฎหมายของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ ในทางกลับกันนักวิทยาศาสตร์ Poisson และ Laplace ที่ทำงานในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้าก็สามารถที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเดิม จากช่วงเวลาที่การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการสังเกตเราเริ่มใช้ทฤษฎีความน่าจะ พรรคทั่ววิทยาศาสตร์นี้ไม่สามารถและรัสเซียนักวิทยาศาสตร์ค่อนข้างมาร์คอฟเซฟและ Dyapunov พวกเขาจะขึ้นอยู่กับงานที่ทำอัจฉริยะ, การรักษาความปลอดภัยเรื่องที่เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ เราทำงานตัวเลขเหล่านี้ในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบเก้าและขอบคุณที่ผลงานของพวกเขาได้รับการพิสูจน์ปรากฏการณ์เช่น:

• กฎหมายจำนวนมาก;
• ทฤษฎีของโซ่มาร์คอฟ;
• ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

ดังนั้นประวัติศาสตร์ของการเกิดของวิทยาศาสตร์และด้วยบุคลิกที่สำคัญที่มีส่วนร่วมกับมันทุกอย่างจะมากหรือน้อยชัดเจน ตอนนี้มันถึงเวลาที่จะออกเนื้อข้อเท็จจริงทั้งหมด

แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่คุณจะสัมผัสกฎหมายและทฤษฎีควรจะเรียนรู้แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะ เหตุการณ์ตรงบริเวณที่มีบทบาทที่โดดเด่น หัวข้อนี้ค่อนข้างกว้างขวาง แต่จะไม่สามารถที่จะเข้าใจส่วนที่เหลือทั้งหมดโดยไม่ได้

เหตุการณ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น - มัน ชุดของผลการทดลองใด ๆ แนวคิดของปรากฏการณ์นี้มีอยู่ไม่เพียงพอ ดังนั้น Lotman นักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานในพื้นที่นี้ได้แสดงว่าในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงอะไร "เกิดขึ้นแม้ว่ามันจะไม่สามารถเกิดขึ้น."

เหตุการณ์สุ่ม (ทฤษฎีความน่าจะให้ความสำคัญเป็นพิเศษกับพวกเขา) - เป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์อย่างใดมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น หรือในทางตรงกันข้ามสถานการณ์นี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในประสิทธิภาพการทำงานของความหลากหลายของเงื่อนไข นอกจากนี้ยังเป็นมูลค่ารู้ว่าครอบครองปริมาณทั้งหมดของปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเหตุการณ์สุ่มเพียง ทฤษฎีความน่าจะแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขทั้งหมดสามารถทำซ้ำอย่างต่อเนื่อง มันเป็นความประพฤติของพวกเขาได้ถูกเรียกว่า "ประสบการณ์" หรือ "การทดสอบ."

เหตุการณ์สำคัญ - นี้เป็นปรากฏการณ์ที่เป็นหนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ในการทดสอบนี้เกิดขึ้น ดังนั้นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - นี่คือสิ่งที่ไม่ได้เกิดขึ้น

รวมคู่การกระทำ (อัตภาพกรณีที่ A และ B กรณี) เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน พวกเขาจะเรียกว่า AB

จำนวนของคู่ของเหตุการณ์ A และ B ที่ได้ - C มีในคำอื่น ๆ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งของพวกเขาจะ (A หรือ B) คุณจะได้รับซีสูตรปรากฏการณ์ที่อธิบายเป็นลายลักษณ์อักษรเป็น C = A + B.

การพัฒนาร่วมกันไม่ได้ในทางทฤษฎีของความน่าจะหมายถึงว่าทั้งสองกรณีพิเศษร่วมกัน ในเวลาเดียวกันพวกเขาอยู่ในกรณีใด ๆ ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันในทฤษฎีความน่าจะเป็น - มันเป็นขั้วตรงข้ามของพวกเขา ความหมายคือว่าถ้าเกิดขึ้นก็ไม่ได้ดักคอซี

ฝ่ายตรงข้ามเหตุการณ์ (ทฤษฎีความน่าจะพิจารณาในรายละเอียดดี) เป็นที่เข้าใจง่าย ดีที่สุดคือการจัดการกับพวกเขาในการเปรียบเทียบ พวกเขาเกือบจะเหมือนกันการพัฒนาเป็นเข้ากันไม่ได้ในทฤษฎีของความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามความแตกต่างของพวกเขาเป็นที่หนึ่งของส่วนใหญ่ของปรากฏการณ์ในกรณีใด ๆ ควรจะเกิดขึ้น

น่าจะพอ ๆ กันเหตุการณ์ - การกระทำเหล่านั้นเป็นไปได้ของการทำซ้ำมีค่าเท่ากับ จะทำให้มันชัดเจนคุณสามารถจินตนาการโยนเหรียญ: การสูญเสียของหนึ่งในด้านของมันคือการขาดทุนที่อาจจะเท่าเทียมกันอื่น ๆ

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะต้องพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของความนิยมเหตุการณ์ สมมติว่ามีเป็นเรื่องราวในตอน A. ครั้งแรก - ม้วนตายกับการถือกำเนิดของเลขคี่ที่และที่สอง - การปรากฏตัวของหมายเลขห้าบนลูกเต๋า จากนั้นก็จะปรากฎว่าเป็นโวลต์ได้รับการสนับสนุน

เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ ในทฤษฎีความน่าจะมีการคาดการณ์เฉพาะในสองคนหรือมากกว่าครั้งและเกี่ยวข้องกับการเป็นอิสระจากการกระทำใด ๆ จากที่อื่น ๆ ยกตัวอย่างเช่น - ที่หางสูญเสียโยนเหรียญและ B - dostavanie แจ็คจากดาดฟ้า พวกเขามีเหตุการณ์ที่เป็นอิสระในทฤษฎีความน่าจะ จากช่วงเวลานี้ก็เป็นที่ชัดเจน

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอยู่ในทฤษฎีความน่าจะยังได้รับอนุญาตเท่านั้นสำหรับชุดของพวกเขา พวกเขาบ่งบอกถึงการพึ่งพาอาศัยกันของหนึ่งในที่อื่น ๆ ที่เป็นปรากฏการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเฉพาะในกรณีที่ได้เกิดขึ้นแล้วหรือในทางที่ไม่ได้เกิดขึ้นเมื่อมันเป็น - เงื่อนไขหลักสำหรับการบี

ผลที่ได้จากการทดลองแบบสุ่มซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว - มันเหตุการณ์ประถมศึกษา ทฤษฎีความน่าจะบอกว่ามันเป็นปรากฏการณ์ที่มีการทำเพียงครั้งเดียว

สูตรพื้นฐาน

ดังนั้นการดังกล่าวข้างต้นได้รับการพิจารณาแนวคิดของ "เหตุการณ์", "ทฤษฎีความน่าจะ" คำจำกัดความของคำสำคัญของวิทยาศาสตร์นี้ยังได้รับ ตอนนี้มันถึงเวลาที่จะทำความรู้จักตัวเองด้วยสูตรที่สำคัญ นิพจน์เหล่านี้ได้รับการยืนยันทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดแนวคิดหลักในเรื่องดังกล่าวเป็นเรื่องยากเป็นทฤษฎีของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และมีบทบาทอย่างมาก

ดีกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยสูตรพื้นฐานของ combinatorics และก่อนที่คุณจะเริ่มต้นพวกเขาก็เป็นมูลค่าการพิจารณาว่ามันคืออะไร

Combinatorics - เป็นหลักสาขาของคณิตศาสตร์ที่เขาได้รับการศึกษาเป็นจำนวนมากของจำนวนเต็มและพีชคณิตต่างๆของทั้งตัวเลขและองค์ประกอบของพวกเขาข้อมูลต่างๆ ฯลฯ นำไปสู่การเป็นจำนวนมากรวมกัน ... นอกเหนือไปจากทฤษฎีของความน่าจะเป็นอุตสาหกรรมนี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับสถิติวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเข้ารหัส

ดังนั้นตอนนี้คุณสามารถย้ายไปยังการนำเสนอของตัวเองและสูตรความหมายของพวกเขา

ครั้งแรกของเหล่านี้คือการแสดงออกสำหรับจำนวนของพีชคณิตก็จะเป็นดังนี้:

P_n n = ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅⋅ 1 n =!

สมการที่ใช้เฉพาะในกรณีที่หากองค์ประกอบแตกต่างกันเฉพาะในการสั่งซื้อของการจัด

ตอนนี้สูตรตำแหน่งก็มีลักษณะเช่นนี้จะได้รับการพิจารณา:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! (N - เมตร)!

สำนวนนี้มีผลบังคับใช้ไม่เพียง แต่จะมีเพียงองค์ประกอบของการสั่งซื้อ แต่ยังรวมถึงองค์ประกอบของมัน

สมการที่สามของการจัดและมันก็เป็นหลังที่เรียกว่าสูตรสำหรับจำนวนของชุด:

C_n ^ m = n! : ((N - เมตร))! : M!

รวมกันเรียกว่าการสุ่มตัวอย่างที่ยังไม่ได้รับคำสั่งให้ตามลำดับการและนำไปใช้กฎนี้

ด้วยสูตรของ combinatorics มาที่จะเข้าใจได้อย่างง่ายดายขณะนี้คุณสามารถไปถึงคำนิยามคลาสสิกของความน่าจะเป็น ดูเหมือนว่าการแสดงออกดังต่อไปนี้:

P (A) = m: n

ในสูตรนี้ม. - คือจำนวนของเงื่อนไขที่เอื้อต่อเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและ n - จำนวนเท่า ๆ กันและเหตุการณ์สมบูรณ์ทุกระดับประถมศึกษา

มีหลายสำนวนในบทความนี้จะไม่ได้รับการพิจารณาอะไร แต่ได้รับผลกระทบจะเป็นคนที่สำคัญที่สุดเช่นตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจำนวนเงินที่มี:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ทฤษฎีบทนี้สำหรับการเพิ่มเพียงกิจกรรมพิเศษร่วมกัน;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - แต่นี้เป็นเพียงสำหรับการเพิ่มเข้ากันได้

น่าจะเป็นของผลงานที่จัดกิจกรรม:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ทฤษฎีบทนี้สำหรับกิจกรรมอิสระ

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - และนี่สำหรับขึ้น

รายการสิ้นสุดของสูตรเหตุการณ์ ทฤษฎีของความน่าจะบอกเราทฤษฎีบท เบส์ซึ่งมีลักษณะเช่นนี้

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)) m = 1, ... , n

ในสูตรนี้เอช _1, H _2, ... , _n H - เป็นชุดที่สมบูรณ์ของสมมติฐาน

ที่ป้ายนี้โปรแกรมตัวอย่างสูตรในขณะนี้จะได้รับการพิจารณาสำหรับงานเฉพาะจากการปฏิบัติ

ตัวอย่าง

หากคุณควรศึกษาสาขาของคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ไม่ได้โดยไม่มีการออกกำลังกายและการแก้ปัญหาของกลุ่มตัวอย่าง และทฤษฎีของความน่าจะเป็น: เหตุการณ์ตัวอย่างที่นี่เป็นองค์ประกอบหนึ่งของการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ยืนยัน

สูตรสำหรับจำนวนของพีชคณิต

ยกตัวอย่างเช่นในสำรับไพ่มีสามสิบบัตรเริ่มต้นด้วยชื่อหนึ่ง คำถามถัดไป วิธีการหลายวิธีที่จะพับดาดฟ้าเพื่อให้บัตรที่มีมูลค่าที่ตราไว้ของหนึ่งและทั้งสองคนก็ไม่ได้อยู่ต่อไปหรือไม่

งานที่มีการตั้งค่าตอนนี้ขอย้ายไปจัดการกับมัน แรกที่คุณต้องกำหนดจำนวนของพีชคณิตสามสิบองค์ประกอบเพื่อการนี้เราใช้สูตรข้างต้นก็จะเปิด P_30 = 30!

ขึ้นอยู่กับกฎนี้เรารู้ว่าหลายตัวเลือกมีวางสำรับในหลาย ๆ วิธี แต่เราจะต้องถูกหักออกจากพวกเขาเป็นผู้ที่อยู่ในที่บัตรแรกและครั้งที่สองจะเป็นต่อไป การทำเช่นนี้เริ่มต้นด้วยการที่แตกต่างเมื่อแรกตั้งอยู่บนสอง แต่กลับกลายเป็นว่าแผนที่แรกอาจใช้เวลายี่สิบเก้าสถานที่ - จากครั้งแรกกับ 29 และไพ่ใบที่สองจากสองถึงสามสิบหันยี่สิบเกที่นั่งสำหรับคู่ของบัตร ในทางกลับกันคนอื่น ๆ สามารถใช้ยี่สิบแปดที่นั่งและในลำดับใด นั่นคือสำหรับการปรับปรุงใหม่ของยี่สิบแปดบัตรได้ยี่สิบแปดตัวเลือก P_28 = 28!

ผลที่ได้คือว่าถ้าเราพิจารณาการตัดสินใจเมื่อไพ่ใบแรกที่อยู่ในโอกาสพิเศษที่สองที่จะได้รับ 29 ⋅ 28! = 29!

โดยใช้วิธีการเดียวกันคุณต้องคำนวณจำนวนของตัวเลือกที่ซ้ำซ้อนในกรณีที่บัตรแรกจะอยู่ภายใต้สอง นอกจากนี้ยังได้รับ 29 ⋅ 28! = 29!

จากนี้มันตามที่ตัวเลือกพิเศษ 2 ⋅ 29! ในขณะที่วิธีการที่จำเป็นของการเก็บรวบรวมดาดฟ้า 30! - 2 ⋅ 29! มันยังคงอยู่เพียงในการคำนวณ

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

ตอนนี้เราต้องคูณด้วยกันทั้งหมดของตัวเลข 1-29 และจากนั้นในตอนท้ายของทั้งหมดคูณด้วย 28 คำตอบที่ได้รับ 2,4757335 ⋅〖〗 10 ^ 32

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา สูตรสำหรับจำนวนของที่พัก

ในปัญหานี้คุณต้องไปหาว่ามีหลายวิธีที่จะใส่สิบห้าเล่มบนหิ้ง แต่ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าเพียงสามสิบเล่ม

ในงานนี้การตัดสินใจที่ง่ายขึ้นเล็กน้อยกว่าก่อนหน้านี้ โดยใช้สูตรที่รู้จักกันแล้วก็เป็นสิ่งจำเป็นในการคำนวณจำนวนสามสิบสถานที่สิบห้าเล่ม

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 16 843 204 931 727 360 000

การตอบสนองตามลำดับจะเท่ากับ 843 204 202 931 727 360 000

ตอนนี้ใช้งานเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ยากขึ้น คุณจำเป็นต้องรู้ว่ามีหลายวิธีในการจัดหนังสือสามสิบสองบนชั้นวางที่มีเงื่อนไขว่าแค่สิบห้าเล่มสามารถอาศัยอยู่บนชั้นเดียวกัน

ก่อนเริ่มต้นของการตัดสินใจขอชี้แจงว่าบางส่วนของปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถแก้ไขได้ในหลายวิธีและในการนี้มีสองวิธี แต่ในทั้งเดียวและสูตรเดียวกันถูกนำไปใช้

ในงานนี้คุณสามารถใช้คำตอบจากก่อนหน้านี้หนึ่งเพราะมีเรามีการคำนวณจำนวนครั้งที่คุณสามารถกรอกข้อมูลการเก็บรักษาเป็นเวลาสิบห้าหนังสือในรูปแบบที่แตกต่างกัน มันเปิด A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅⋅ 16 ...

ทหารสองคำนวณได้จากสูตรสับเพราะมันถูกวางหนังสือสิบห้าในขณะที่เหลือสิบห้า เราใช้สูตร P_15 = 15!

ปรากฎว่าผลรวมจะ A_30 ^ 15 ⋅ P_15 วิธี แต่ในนอกจากนี้ผลิตภัณฑ์ของตัวเลขทั้งหมดที่ 30-16 จะคูณด้วยผลิตภัณฑ์ของตัวเลขจากหนึ่งถึงสิบห้าในท้ายเปิดออกสินค้าของตัวเลขทั้งหมดจากหนึ่งถึงสามสิบนั่นคือคำตอบ คือ 30!

แต่ปัญหานี้จะสามารถแก้ไขได้ในวิธีที่แตกต่างกัน - ได้ง่ายขึ้น การทำเช่นนี้คุณสามารถจินตนาการว่ามีการเก็บรักษามานานกว่าสามสิบหนังสือ ทั้งหมดของพวกเขาที่วางอยู่บนเครื่องบินลำนี้ แต่เป็นเพราะเงื่อนไขที่กำหนดว่ามีสองชั้นหนึ่งระยะเวลาที่เราเลื่อยในช่วงครึ่งปีที่สองจะเปิดสิบห้า จากนี้ก็ปรากฎว่าข้อตกลงนี้สามารถ P_30 = 30!

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา สูตรสำหรับจำนวนของการรวมกันของ

ซึ่งถือเป็นตัวแปรของปัญหาที่เกิดขึ้นในสามของ combinatorics คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการหลายวิธีมีการจัดหนังสือสิบห้าบนเงื่อนไขที่ว่าคุณต้องเลือกจากสามสิบตรงเดียวกัน

สำหรับการตัดสินใจที่จะแน่นอนใช้สูตรสำหรับจำนวนของชุด จากเงื่อนไขที่ว่ามันเป็นที่ชัดเจนว่าคำสั่งของเดียวกันหนังสือสิบห้าไม่สำคัญ ดังนั้นในขั้นแรกคุณต้องไปหาจำนวนรวมของการรวมกันของสามสิบหนังสือสิบห้า

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

นั่นคือทั้งหมดที่ การใช้สูตรนี้ในเวลาที่สั้นที่สุดในการแก้ปัญหาดังกล่าวคำตอบตามลำดับเท่ากับ 155,117,520

ตัวอย่างของการแก้ปัญหา นิยามคลาสสิกของความน่าจะเป็น

โดยใช้สูตรที่กำหนดข้างต้นหนึ่งสามารถหาคำตอบได้ในงานที่เรียบง่าย แต่มันชัดเจนจะเห็นและทำตามหลักสูตรของการดำเนินการ

งานที่ได้รับในโกศมีสิบลูกเหมือนกันอย่างสมบูรณ์ ของเหล่านี้สี่สีเหลืองและสีฟ้าหก นำมาจากโกศหนึ่งลูก มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะรู้ว่าน่าจะเป็น dostavaniya สีฟ้า

เพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะกำหนด dostavanie ฟ้าเหตุการณ์ลูก A. ประสบการณ์นี้อาจจะมีผลสิบซึ่งในการเปิดประถมศึกษาและมีโอกาสเท่าเทียมกัน ในเวลาเดียวกันหกสิบเป็นอย่างดีกับเหตุการณ์ A. แก้สูตรต่อไปนี้:

P (A) = 6: 10 = 0.6

ใช้สูตรนี้เราได้เรียนรู้ว่าความสามารถในการรับลูกบอลสีน้ำเงินคือ 0.6

การแก้ปัญหาของตัวอย่าง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ตอนนี้ตัวแปรจะนำเสนอซึ่งจะแก้ไขได้โดยใช้สูตรความน่าจะเป็นผลรวมของเหตุการณ์ ดังนั้นในสภาพจะได้รับว่ามีสองกล่องในครั้งแรกมีหนึ่งสีเทาและสีขาวห้าลูกและในที่สอง - แปดสีเทาและสี่ลูกสีขาว เป็นผลให้หนึ่งในนั้นถูกนำมาจากกล่องแรกและที่สอง มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาสิ่งที่เป็นโอกาสที่ลูกที่ได้รับจะเป็นสีเทาและสีขาว

ในการแก้ปัญหานี้จำเป็นต้องกำหนดเหตุการณ์

• ดังนั้น A - เอาลูกบอลสีเทาจากลิ้นชักแรก: P (A) = 1/6
• A 'เอาบอลขาวจากลิ้นชักแรก: P (A') = 5/6
• B - ดึงลูกบอลสีเทาจากช่องที่สอง: P (B) = 2/3
• B 'เอาลูกสีเทาจากช่องที่สอง: P (B') = 1/3

โดยเงื่อนไขของปัญหาเป็นสิ่งจำเป็นที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งเกิดขึ้น: AB 'หรือ A'B ใช้สูตรที่เราได้รับ: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18

ตอนนี้ใช้สูตรการคูณความน่าจะเป็น ถัดไปเพื่อหาคำตอบที่คุณต้องใช้สมการของพวกเขานอกจากนี้:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18

ดังนั้นการใช้สูตรคุณสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้

ผลที่ได้

บทความนี้นำเสนอข้อมูลเกี่ยวกับหัวข้อ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบทบาทสำคัญ แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกสิ่งทุกอย่างถูกนำเข้าบัญชี แต่ขึ้นอยู่กับข้อความที่นำเสนอคุณสามารถทำความเข้าใจกับส่วนนี้ของทฤษฎีได้ วิทยาศาสตร์นี้สามารถเป็นประโยชน์ไม่เพียง แต่ในการปฏิบัติวิชาชีพ แต่ยังอยู่ในชีวิตประจำวัน ด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถคำนวณความเป็นไปได้ในการจัดงานได้

ข้อความยังสัมผัสกับวันสำคัญในประวัติศาสตร์ของการเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นวิทยาศาสตร์และชื่อของคนที่มีผลงานได้ลงทุนในมัน นั่นเป็นวิธีที่มนุษย์อยากรู้อยากเห็นได้นำไปสู่ข้อเท็จจริงที่ว่าผู้คนได้เรียนรู้ที่จะนับเหตุการณ์แบบสุ่ม เมื่อพวกเขาเริ่มให้ความสนใจ แต่ทุกวันนี้ทุกคนก็รู้เรื่องนี้ และไม่มีใครจะพูดในสิ่งที่รอคอยเราในอนาคตสิ่งที่ค้นพบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมุ่งมั่น แต่สิ่งหนึ่งคือการตรวจสอบ - การวิจัยในจุดที่ไม่คุ้มค่า!