รูปหลายเหลี่ยมนูน ความหมายของรูปหลายเหลี่ยมนูน เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้เป็นรอบ ๆ ตัวเรา รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นธรรมชาติเช่นรังผึ้งหรือเทียม (คนทำ) ตัวเลขเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในการผลิตที่แตกต่างกันของการเคลือบในศิลปะสถาปัตยกรรมเครื่องประดับ ฯลฯ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติที่จุดที่พวกเขาอยู่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงที่ผ่านคู่ของจุดที่อยู่ติดกันของรูปเรขาคณิต มีคำจำกัดความอื่น ๆ มันเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งจะจัดในครั้งเดียวครึ่งเครื่องบินที่เกี่ยวกับเส้นตรงใด ๆ ที่มีหนึ่งในด้าน

รูปหลายเหลี่ยมนูน

ในหลักสูตรของเรขาคณิตประถมได้รับการปฏิบัติเสมอรูปหลายเหลี่ยมง่ายมาก เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติของ รูปทรงเรขาคณิตที่ คุณต้องเข้าใจธรรมชาติของพวกเขา ในการเริ่มต้นที่จะเข้าใจว่าปิดเป็นแถวใด ๆ ที่ปลายเหมือนกัน และตัวเลขที่เกิดขึ้นโดยมันสามารถมีความหลากหลายของการกำหนดค่า รูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าเส้นปิดที่เรียบง่ายที่มีหน่วยที่อยู่ติดกันไม่ได้ตั้งอยู่บนเส้นตรงหนึ่ง การเชื่อมโยงและต่อมน้ำมันเป็นตามลำดับด้านข้างและท็อปส์ซูของรูปเรขาคณิต เส้นที่เรียบง่ายไม่ต้องตัดตัวเอง

จุดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าเพื่อนบ้านในกรณีที่พวกเขาจะสิ้นสุดลงของหนึ่งในฝ่ายของตน รูปทรงเรขาคณิตซึ่งมีจำนวน n-TH ของจุดและด้วยเหตุนี้จำนวน n-TH ของบุคคลที่เรียกว่า n-gon ตัวเองบรรทัดหักเป็นเขตแดนหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิต เครื่องบินเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนเรียกว่าส่วนสุดท้ายของเครื่องบินใด ๆ จำกัด ของพวกเขา ด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตรูปที่เรียกว่ากลุ่มเส้นที่มาจากจุดสุดยอดเหมือนกัน พวกเขาจะไม่เป็นเพื่อนบ้านถ้าพวกเขาจะขึ้นอยู่กับจุดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความอื่น ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในเรขาคณิตประถมศึกษามีหลายเทียบเท่าในนิยามความหมายที่แสดงให้เห็นสิ่งที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมนูน นอกจากนี้แถลงการณ์เหล่านี้ทุกคนมีความเท่าเทียมกันจริง รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นหนึ่งที่มี:

•ส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดใด ๆ ภายในแต่ละอยู่ทั้งหมดในนั้น

•นั้นนอนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของตน

•มุมใด ๆ ภายในไม่เกิน 180 องศา

รูปหลายเหลี่ยมเสมอแบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน หนึ่งของพวกเขา - จำกัด (มันสามารถปิดล้อมเป็นวงกลม) และอื่น ๆ - ไม่ จำกัด ครั้งแรกที่เรียกว่าเขตชั้นในและสอง - พื้นที่ด้านนอกของรูปทรงเรขาคณิต นี่คือจุดตัดของรูปหลายเหลี่ยม (ในคำอื่น ๆ - องค์ประกอบทั้งหมด) ครึ่งหลายระนาบ ดังนั้นส่วนที่แต่ละคนมีปลายที่จุดซึ่งอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมสมบูรณ์เป็นของเขา

ความหลากหลายของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ความหมายของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายชนิดของพวกเขา และแต่ละคนมีเกณฑ์ที่แน่นอน ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายในของ 180 องศาเรียกนูนเล็กน้อย รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีสามยอดที่เรียกว่าสามเหลี่ยมสี่ - รูปสี่เหลี่ยมห้า - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ แต่ละนูน n-gons ตรงตามความต้องการที่สำคัญดังต่อไปนี้ .. N จะต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3. แต่ละรูปสามเหลี่ยมนูน รูปเรขาคณิตประเภทนี้ซึ่งในจุดทั้งหมดที่มีอยู่บนวงกลมเรียกว่าวงกลมไว้ อธิบายรูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าถ้าทุกด้านรอบวงกลมเพื่อสัมผัสเธอ สองรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าเท่ากับเฉพาะในกรณีเมื่อใช้การซ้อนทับสามารถนำมารวมกัน รูปหลายเหลี่ยมแบนเรียกว่าเครื่องบินเหลี่ยม (ส่วนเครื่องบิน) ที่รูปเรขาคณิตนี้ จำกัด

รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติที่เรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่มีมุมเท่ากันและด้านข้าง ภายในพวกเขามีจุด 0 ซึ่งเป็นระยะทางเดียวกันจากแต่ละจุดของมัน มันถูกเรียกว่าศูนย์กลางของรูปเรขาคณิต เส้นเชื่อมต่อศูนย์ที่มีจุดของตัวเลขที่เรียกว่า apothem เรขาคณิตและผู้ที่เชื่อมต่อจุด 0 กับฝ่าย - รัศมี

สี่เหลี่ยมที่ถูกต้อง - สแควร์ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่า สำหรับรูปร่างดังกล่าวมีกฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน 180 ° * (n-2) / n,

ที่ n - จำนวนของจุดของรูปทรงเรขาคณิตนูน

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติใด ๆ จะถูกกำหนดโดยสูตร:

S = * p ชั่วโมง

P คือเท่ากับครึ่งหนึ่งผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมและ h คือ apothem ยาว

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติบางอย่าง ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดใด ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตที่ตั้งอยู่จำเป็นต้องอยู่ในนั้น หลักฐาน:

สมมติว่า P - รูปหลายเหลี่ยมนูน ใช้เวลาสองจุดโดยพลการเช่น A และ B ซึ่งเป็นพีตามความหมายในปัจจุบันของรูปหลายเหลี่ยมนูนจุดเหล่านี้จะตั้งอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงที่มีทิศทางอาร์ดังนั้น AB นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัตินี้และมีอยู่ในอาร์รูปหลายเหลี่ยมนูนเสมอ ๆ อาจจะแบ่งออกเป็นหลายรูปสามเหลี่ยมอย่างทุกเส้นทแยงมุมซึ่งถือเป็นหนึ่งในจุดของมัน

มุมรูปทรงเรขาคณิตนูน

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน - มีมุมที่จะเกิดขึ้นจากทั้งสองฝ่าย มุมภายในอยู่ในพื้นที่ด้านในของรูปทรงเรขาคณิต มุมที่จะเกิดขึ้นที่ด้านข้างโดยที่มาบรรจบกันที่จุดสุดยอดที่เรียกว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน มุมที่อยู่ติด กับมุมภายในของรูปเรขาคณิตที่เรียกว่าภายนอก มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจัดภายในแต่ละคือ:

180 องศา - x

ที่ x - ค่ามุมนอก สูตรนี้ง่ายใช้ได้กับชนิดของรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ ดังกล่าว

โดยทั่วไปสำหรับมุมนอกมีอยู่ต่อไปนี้การปกครองแต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับความแตกต่างระหว่าง 180 องศาและความคุ้มค่าของมุมภายใน มันสามารถมีค่าตั้งแต่ -180 °ถึง 180 ° ดังนั้นเมื่อมุมด้านในคือ 120 °ลักษณะจะมีค่าเป็น 60 องศา

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะจัดตั้งขึ้นโดยสูตร:

180 ° * (n-2)

ที่ n - จำนวนของจุดของ n-gon

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีการคำนวณค่อนข้างง่าย พิจารณารูปทรงเรขาคณิตใด ๆ ดังกล่าว เพื่อตรวจสอบผลรวมของมุมในรูปหลายเหลี่ยมนูนจะต้องมีการเชื่อมต่อหนึ่งจุดที่จะจุดอื่น ๆ อันเป็นผลมาจากการกระทำนี้จะเปิด (n-2) ของรูปสามเหลี่ยม เป็นที่รู้จักกันว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ อยู่เสมอ 180 องศา เพราะจำนวนของพวกเขาในรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของรูปเท่ากับ 180 ° x (n-2)

จำนวนเงินที่มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือสองมุมทั้งภายในและภายนอกที่อยู่ติดกันกับพวกเขาในรูปทรงเรขาคณิตนี้นูนจะเป็นเท่ากับ 180 องศา บนพื้นฐานนี้เราสามารถตรวจสอบผลรวมของทุกมุมของ:

180 x n

ผลรวมของมุมภายใน 180 ° * (n-2) ดังนั้นผลรวมของทั้งหมดที่มุมด้านนอกของตัวเลขที่กำหนดโดยสูตร:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใด ๆ มักจะเท่ากับ 360 ° (ไม่คำนึงถึงจำนวนของด้านของตน)

มุมด้านนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นตัวแทนจากความแตกต่างระหว่าง 180 องศาและความคุ้มค่าของมุมภายในโดยทั่วไป

คุณสมบัติอื่น ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูน

นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของข้อมูลที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตพวกเขายังมีอื่น ๆ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อจัดการพวกเขา ดังนั้นการใด ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมอาจจะแบ่งออกเป็นหลายนูน n-gons การทำเช่นนี้ต่อไปในแต่ละด้านและตัดรูปทรงเรขาคณิตตามเส้นตรงเหล่านี้ แยกรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่เป็นส่วนนูนหลายเป็นไปได้และเพื่อให้ด้านบนของแต่ละชิ้นตรงกับทุกจุดของมัน จากรูปเรขาคณิตได้ง่ายมากที่จะทำให้รูปสามเหลี่ยมผ่านเส้นทแยงมุมทั้งหมดจากจุดสุดยอด ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ในที่สุดสามารถแบ่งออกเป็นหมายเลขหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็นประโยชน์อย่างมากในการแก้งานต่างๆที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตเช่น

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ส่วนของเส้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าบุคคลที่มักจะแสดงด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: AB, BC, CD, de, EA ด้านข้างของรูปเรขาคณิตที่มีจุด A, B, C, D, E นี่ ผลรวมของความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่เรียกว่าปริมณฑล

เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนอาจถูกป้อนและอธิบาย วงกลมสัมผัสกันไปทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตที่เรียกว่าจารึกไว้เป็นมัน รูปหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่าอธิบาย วงกลมตรงกลางซึ่งเป็นที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับ:

S = * p R,

ที่ r - รัศมีของวงกลมไว้และ P - semiperimeter รูปหลายเหลี่ยมนี้

วงกลมที่มีจุดรูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าอธิบายอยู่ใกล้มัน นอกจากนี้รูปทรงเรขาคณิตนี้นูนเรียกว่าจารึกไว้ ศูนย์วงกลมซึ่งจะอธิบายเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสิ่งที่เรียกว่า midperpendiculars จุดตัดทุกด้าน

ในแนวทแยงรูปทรงเรขาคณิตนูน

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน - ส่วนที่เชื่อมต่อจุดไม่ใกล้เคียง แต่ละของพวกเขาอยู่ในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon มีการตั้งค่าตามสูตร:

N = n (n - 3) / 2

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตประถมศึกษา จำนวนของรูปสามเหลี่ยม (K) ซึ่งอาจทำลายทุกรูปหลายเหลี่ยมนูนคำนวณได้จากสูตรการคำนวณดังนี้

K = n - 2

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนอยู่เสมอขึ้นอยู่กับจำนวนของจุด

พาร์ติชันของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในบางกรณีการแก้งานรูปทรงเรขาคณิตที่จำเป็นที่จะทำลายหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นหลายรูปสามเหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมไม่ใช่ตัด ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการเอาสูตรบางอย่าง

การกำหนดปัญหา: โทรสิทธิชนิดของพาร์ทิชันของนูน n-gon เป็นหลายรูปสามเหลี่ยมโดยเส้นทแยงมุมที่ตัดเฉพาะที่จุดของรูปเรขาคณิต

การแก้ไข: สมมติว่า P1, P2, P3, ... , Pn - ด้านบนของ n-gon จำนวน Xn - จำนวนของพาร์ทิชันของตน พิจารณาอย่างรอบคอบที่เกิดขึ้นในแนวทแยงรูปเรขาคณิต Pi Pn ในใด ๆ ของพาร์ทิชันปกติ P1 Pn เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง P1 Pi Pn ซึ่งใน 1

ให้ฉัน = 2 คือกลุ่มของพาร์ทิชันที่ปกติมักจะมีเส้นทแยงมุม P2 Pn จำนวนของพาร์ทิชันที่รวมอยู่ในนั้นเท่ากับจำนวนของพาร์ทิชัน (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn ในคำอื่น ๆ ก็จะมีค่าเท่ากับ Xn-1

ถ้าฉัน = 3 แล้วพาร์ทิชันในกลุ่มอื่น ๆ มักจะมีเส้นทแยงมุม P3 P1 และ P3 Pn จำนวนของพาร์ทิชันที่ถูกต้องที่มีอยู่ในกลุ่มที่จะตรงกับจำนวนของพาร์ทิชัน (n-2) -gon P3, P4 ... Pn ในคำอื่น ๆ ก็จะเป็น Xn-2

ขอให้ฉัน = 4 แล้วรูปสามเหลี่ยมหมู่พาร์ทิชันที่ถูกต้องที่ถูกผูกไว้เพื่อให้มีรูปสามเหลี่ยม P1 Pn P4 ซึ่งจะติดจัตุรัส P1 P2 P3 P4 (n-3) -gon P5 P4 ... Pn จำนวนของพาร์ทิชันที่ถูกต้องเช่นรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ X4 และจำนวนของพาร์ทิชัน (n-3) -gon เท่ากับ Xn-3 ขึ้นอยู่กับที่กล่าวมาแล้วเราสามารถพูดได้ว่าจำนวนของพาร์ทิชันปกติที่มีอยู่ในกลุ่มนี้เท่ากับ Xn-3 X4 กลุ่มอื่น ๆ ที่ i = 4, 5, 6, 7 ... จะมี 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 พาร์ทิชันปกติ

ให้ i = n-2, จำนวนพาร์ทิชันที่ถูกต้องในกลุ่มที่กำหนดจะตรงกับจำนวนของพาร์ทิชันในกลุ่มที่ i = 2 (ในคำอื่น ๆ เท่ากับ Xn-1)

ตั้งแต่ X1 X2 = = 0, X3 = 1 และ X4 = 2, ... , จำนวนพาร์ทิชันของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ:

xn = xn-1 + Xn-2 + Xn-3, xn-X4 + X5 +4 ... + X 5 + 4 Xn-xn-X 4 + 3 + 2 Xn-xn-1

ตัวอย่างเช่น:

X5 = X4 + + X3 X4 = 5

X6 = X4 + X5 + + X4 X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + + X5 X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 X5 * + * X4 X5 + + X6 X7 = 132

จำนวนของพาร์ทิชันที่ถูกต้องตัดภายในหนึ่งเส้นทแยงมุม

เมื่อตรวจสอบในแต่ละกรณีก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าจำนวนของเส้นทแยงมุมของนูน n เหลี่ยมเท่ากับสินค้าของพาร์ทิชันทุกรูปแบบแผนภูมินี้ (n-3)

หลักฐานของสมมติฐานนี้: สมมติว่า P1n = Xn * (n-3) แล้ว n เหลี่ยมใด ๆ ที่อาจแบ่งออกเป็น (n-2) เป็นรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้หนึ่งของพวกเขาสามารถซ้อนกัน (n-3) -chetyrehugolnik ในขณะเดียวกันแต่ละจัตุรัสเป็นเส้นทแยงมุม ตั้งแต่รูปทรงเรขาคณิตนี้นูนสองเส้นทแยงมุมสามารถดำเนินการได้ซึ่งหมายความว่าในที่ใด ๆ (n-3) -chetyrehugolnikah อาจดำเนินการเพิ่มเติมในแนวทแยง (n-3) บนพื้นฐานนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ทิชันที่เหมาะสมใดที่มีโอกาสที่จะ (n-3) การประชุม -diagonali ความต้องการของงานนี้

พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมนูน

บ่อยครั้งในการแก้ปัญหาต่างๆของเรขาคณิตประถมศึกษามีความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi) i = 1,2,3 ... n แทนลำดับของพิกัดของทุกจุดใกล้เคียงของรูปหลายเหลี่ยม, มีไม่แยกตัวเอง ในกรณีนี้พื้นที่คำนวณได้จากสูตรดังต่อไปนี้:

_{S = ½ (Σ (X ฉัน} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + ₁₎₎

ประเด็น (x _1, y _{1) = (x n +1, Y} + n ₁₎